モンハン4G for iphone

一時的なエラーでしたら、
マルチタスクのアプリ終了で改善する場合があります。

画面下のホームボタンを二度素早くカチカチっと押すと、マルチタスクが表示されます。小さめの画面がいくつか横にずらーっと並ぶ感じです。この小さな画面を上にスライドすると消えていきます。スライドして消えるものはすべて上にスライドし終了していき、最後にはホーム画面のみが残ります。ちなみにホーム画面は上にスライドして消すことは出来ません。
ホーム画面以外すべて終了したら、ホームボタンを一度押して、画面を元に戻します。
一時的にフリーズしているだけなら、これでアプリが動くようになりますが、改善ないようでしたら削除して再インストールとかになるかもです。
あとは再起動などでしょうか。

iCloudバックアップはアプリによってはデータ引き継げないものもあります。自分でインストールしたアプリは基本、Appleが開発したものではなく他社が開発したアプリなので中身のデータは管轄外になり、データを引き継ぐのであればアプリの中の設定でデータを引き継ぐ準備が必要ですので、もしフリーズしたままであればこの状態で今からデータを引き継ぐのは難しいかもしれないです。
インストールしたアプリについてのお問い合わせ先はAppleではなくアプリの開発元になるかと思いますので、各ホームページから調べたり、ホームページのサポートの場所から問い合わせする、と言った感じになります。

どのゲームかわからないと改善策も何もありません。ゲームの不具合ならばiPhoneは関係ありません。ゲーム配信側が修正しないとどうしようもありません。もし全てのゲームがそのようになるのならiPhoneの問題です。