ディアボリックラヴァーズ ダークフェイト

サーヴァントというのは、簡単に言えば魔力で作った人形に英霊を容れたものです。
この人形は1度の聖杯戦争で7つしか作られないので、サーヴァントは7人しか召喚できないんです。そのため、7人サーヴァントが召喚された状態で新たなサーヴァントを召喚する場合は、既に召喚されたサーヴァントの中身である英霊の魂を取り替える、という方法を取る必要があります。
つまり、佐々木小次郎の中からハサンが出てきたのは、小次郎が元々使っていた人形に新たにハサンが容れられ、人形の所有権を小次郎から奪い取った、という経緯のためです。

真のアサシンを召喚するための触媒に、偽のアサシンである小次郎を使ったからです。
ランサーを食ったのは、彼のスキル自己改造によって
霊核を取り込む事でパワーアップするためです。

他の方の回答に補足するとハサンはそもそもアサシン（暗殺者）のクラスと言う枷、つまりアサシンのクラスのサーヴァントに与えられる魔力の肉体その物が英霊を召喚する触媒となっている訳です。だから小次郎の体を奪う事で召喚出来た訳ですね。それと間桐臓硯はそもそも始まりの御三家のマキリの人間で聖杯戦争に置けるサーヴァントシステムの考案者です。なのでサーヴァントの召喚システムに詳しい訳ですね。あの小次郎の体を乗っ取ってのハサンの召喚はアサシンのクラスの肉体その物が英霊召喚の触媒になっているハサンとサーヴァントシステムの考案者である臓硯の組み合わせだからこそ出来た事ですね。

ランサーの心臓を取り込んだことについては、そもそも正規の召喚ではなかったから(途中からの割り込み再召喚だから)サーヴァントとして不完全だったというのもあります。
そんな特殊な召喚された直後では、ハサンは人語を喋る知性も足りていませんでした。
その不完全な部分を取り戻して補うためにランサーの心臓を喰らったのです。
もちろん、そんなことが可能なのは自己改造のスキルを高ランクで保有していたからですけれどね。