白猫プロジェクト

必ずしもHHコラボのイベントをクリアする必要はありません
勿論、進化できない技を使えない、能力や性能が下がる低下する事もありません

ただ、一つだけ注意が必要なのがあります
ハンターのメモリアルルーンと言う、特別なルーンが貰えません
これは、HHコラボのキャラが対象で、一つにつき一回限界突破できるルーンです
限界突破はそのルーンでなければ出来ないわけではありませんが
本来、限界突破使うルーンは割と貴重なものなのでそれを逃しても良いと思うなら
スルーでOKです

対応する武器がある場合ですが、なかったとしても十分戦えます
ただし、キルアだけは火力はかなり落ちるかもしれません

基本的にガチャから出現するキャラクターを育成するのは通常のルーンになるので、育成自体にクエストクリアは関係無いです。

特別なルーンが必要になるのは、イベントで配布される無料キャラ（ヒーロータイプ）のキャラクターのみです。

また、他の方の回答にあるメモリアルルーンも限界突破に必要ですが、他のキャラクター同様ガチャで重複した際に貰える虹のルーンで代用は可能ですのでどうしてもクリアしなくてはならない訳ではありません。

キャラクター専用武器は、あればキャラクターの性能が上がりますが、無くても何とかなりますよ。

出来れば、その職業の☆5まで進化する武器が一つくらいあったら良いですが、最近はキャラの性能自体が格段にアップしていますので通常クエスト、イベント共に立ち回り次第で、無いとクリアできない程の話ではありません。