KILLZONE 3

全てのソフトをプレイ出来る訳ではないので、中にはプレイ出来ないソフトもあります。

それと一応確認ですが、型番がCECHB00の20GBモデルですか？

CECHH00の40GBモデル、またはCECHL00の80GBモデルって事はないですよね？

起動方法といったものは特になく、PS2のソフトを入れると認識され、ホームのXMB→ゲームの項目の中から選択することで起動できたはずです。
ソフトによっては不具合も報告されていますが、これに関してはPS3とソフトの互換性をご自身で調べていただくしかありません。
ただ、現状では互換性だけの問題とは言い切れません。

いくつか確認したいのですが、現在使用できない機能はPS2、PSのゲーム再生だけなのでしょうか？ PS3のゲームもプレイできないといったことがないのでしょうか？
また、PSとPS2のゲームが出来る型番は《CECHA》と《CECHB》からという形式を持つ型番のみになります。疑うわけでは在りませんが、過去、これら以外の型番に20GBや60GBのHDDを換装し偽った詐欺行為もありましたので、型番の方もご確認ください。
簡単な確認方法としてはUSBポートが４つあれば該当する型番のため問題ありませんが二つである場合該当しない型番なのでプレイすることは出来ません。

尚、型番が問題なく、かつPS3のみプレイできるという状況ですと、PSやPS2の再生機能を司る部位が故障、不具合を起こしている可能性は高いです。その場合は現在、公式サポートがすでに終了している型番のため個人経営店などに問い合わせて修理を請け負ってくれるか確かめる程度しかできません。